Vektoren

Die Zahlen innerhalb der Klammern werden reelle Spaltenvektoren genannt.

Man kann einen reellen Spaltenvektor durch Transposition in einen reellen Zeilenvektor und umgekehrt Transferieren.
Meist notieren wir keine trennenden Kommata zwischen den Einträgen, jedoch können Kommata zur Wahrung der Übersichtlichkeit in Einzelfällen sinnvoll sein.

Die komponentenweisen Rechenregeln der Spaltenvektoren gelten für die Zeilenvektoren ganz analog – sie werden nur halt horizontal angewendet.

Vektoren werden als gleich bezeichnet wenn jede einzelne Komponente des ersten Vektors mit der dazugehörigen Komponente des zweiten Vektors
übereinstimmt.
Hier besitzen dien beiden Vektoren eine gleiche Komponentenzahl $ n $.

Wir haben eine Grundmenge $ G $. Die Vektoren $ \vec{x} $ und $ \vex{y} $.

1. Hier die Addition von zwei Vektoren. Diese Addition gilt nur für Vektoren mit gleicher Komponentenzahl.
   Es wird jedes Komponentenpaar einzeln miteinander Addiert.
   
   
   
2. Es gilt für $ \vec{x},\vec{y} \in G $ stets auch $ \vec{x} + \vec{y} \in G $, d.h. die Addition ist auch tatsächlich für je zwei Vektoren der Grundmenge erklärt.
   
   
3. Es gibt einen additiv neutralen Vektor $ \vec{0} \in G $, auch Nullvektor genannt, d.h. er erfüllt $ \vec{x}+\vec{0} = \vec{x} $ für jedes $ \vec{x} \in G $.
   
   
4. Zu jedem Vektor $ \vec{x} \in G $ gibt es einen additiv inversen Vektor $ \vec{y} $ mit $ \vec{x} + \vec{y} = \vec{0} $. Wir schreiben dann $ − \vec{x} $ anstatt $ \vec{y} $.
   Eine Subtraktion wird durch eine Addition mit dem Inversen Vektor durchgeführt.
   
   Anstatt $ \vec{x} - \vec{y} $ wird $ \vec{x} + (- \vec{y}) $ geschrieben.
   
   
5. Die Addition ist assoziativ, d.h. es gilt stets $ (\vec{x}+\vec{y})+\vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec {z} ) $ für alle $ \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in G $.
   
   
6. Die Addition ist kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Operanden ist egal: $ \vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} $ für alle $ \vec{x},\vec{y} \in G $.

1. Bei der Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar werden die Komponenten einzeln mit dem Skalar multipliziert. (skalare Multiplikation)
   
   
   
2. Der Skalar kann aufgeteilt, einzeln multipliziert und Anschließend wieder addiert werden.
   
   
   
3. Wenn du einen Vektor mit einem Skalar multiplizierst, der selbst ein Produkt aus zwei Skalaren ist, kannst du die Multiplikation in zwei Schritten machen:
   Statt zunächst die beiden Skalare zu multiplizieren und dann das Ergebnis mit dem Vektor, kannst du auch erst den Vektor mit dem ersten Skalar multiplizieren und dann das Resultat mit dem zweiten Skalar.
   
   
   
4. Multipliziert man eine Summe zweier Vektoren mit einem Skalar, so darf man auch den Skalar mit jedem Vektor einzeln multiplizieren und anschließend die Summe bilden.
   
   
   
5. Multipliziert man einen Vektor mit der Summe zweier Skalare, so darf man die Skalare
   auch einzeln mit dem Vektor multiplizieren und dann aufsummieren.
   
   
   
6. Die Multiplikation der Zahl 1 mit einem Vektor ergibt wieder diesen Vektor.