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Aussagenlogische Formeln
1. Aussagen/Aussagenformen
(F1) Die Behauptung muss inhaltlich verständlich sein. Eventuell muss dafür auf notwendige
Begriffsdefinitionen verwiesen werden.
(F2) Es muss möglich sein, Bedingungen anzugeben, unter denen sich der Wahrheitsgehalt der
Behauptung (zumindest hypothetisch) objektiv und eindeutig feststellen lässt
Eine durch (eine natürliche oder eine künstliche) Sprache ausgedrückte Behauptung, die die Bedingungen (F1) und (F2) erfüllt, bezeichnen wir als Aussageform. Enthält eine Aussageform bereits sämtliche Kontextinformation im Sinne von (F2), so dass ihr Wahrheitsgehalt in einem übergeordnet festgelegten Grundkontext ohne weitere Angabe von Informationen – wenigstens hypothetisch – objektiv und eindeutig feststellbar ist, so nennen wir diese eine Aussage.
Durch den Grundkontext „Mathematik“ wissen wir, was Variablen und Zahlen sind, ferner kennen wir die Bedeutung des Zeichens „>“. Nachfolgend ist eine Aussageform in diesem
Grundkontext gegeben:
Grundkontext: Mathematik
Behauptung: Es ist x > 3.
Hier kann der Wahrheitsgehalt erst dann zweifelsfrei evaluiert werden, wenn bekannt ist, welchen Wert die Variable x hat. Erst dann entsteht also eine (wahre oder falsche) Aussage:
Grundkontext: Mathematik
Kontext: x habe den Wert 2.
Behauptung: Es ist x > 3
Nochmal einfacher
Aussage
Eine Aussage ist ein Satz, der eindeutig wahr (w) oder falsch (f) ist. Sie enthält keine Variablen.
Beispiele:
„5 ist eine ungerade Zahl.“ → wahr
„3 = 5.“ → falsch
„6 < 11.“ → wahr
Diese Sätze haben einen festen Wahrheitswert und heißen daher Aussagen.
Aussageform
Eine Aussageform ist ein Satz, der mindestens eine Variable (Platzhalter) enthält. Sein Wahrheitswert lässt sich erst nach dem Einsetzen eines konkreten Wertes bestimmen.
Beispiele:
A (x):x+1=7
Für x=6: wahr
Für x=4: falsch
B (x,y):x<y
Für (x,y)=(3,5): wahr
Für (x,y)=(7,2): falsch
Eine Aussageform hat noch keinen Wahrheitswert, sondern wird zur Aussage, wenn man:
Variablen durch konkrete Werte ersetzt (z.B. x=6), oder
Variablen mit Quantoren bindet, etwa:
Allquantor („für alle“): ∀x:x+1=7
Existenzquantor („es gibt“): ∃x:x+1=7
💡 Merkregel
Aussage: enthält keine Variablen → hat festen Wahrheitswert Aussageform: enthält Variable(n) → Wahrheitswert noch offen
1.0.1 Negation von Aussagen
Gegeben ist der Satz
Wenn heute Montag ist, dann ist Morgen Mittwoch
Die Negation zu diesem Satz zu bilden ist nicht so intuitiv und sollte daher durch zu Hilfenahme von Formeln gebildet werden.
- Wenn heute Montag ist, dann ist Morgen Mittwoch $A \rightarrow B$
- Die Transformation der Disjunktion ist $A \rightarrow B$ ⇒ $\neg A \lor B$
- Jetzt die Negation der Formel $\neg A \lor B$ ⇒ $A \land \neg B$
- Die negierte Formel in einen Satz überführen $A \land \neg B$ ⇒ Heute ist Montag, und Morgen ist nicht Mittwoch.
Die Negation lautet
Heute ist Montag, und Morgen ist nicht Mittwoch.
1.1 Quantoren
In der Logik sind Quantoren besondere Operatoren, die angeben, für welche Objekte oder Elemente einer Menge eine Aussage gelten soll.
1.1.1 Allquantor (∀)
Der Allquantor steht für „für alle“ oder „jedes“.
Er gibt an, dass eine Aussage für alle Elemente einer betrachteten Menge gilt.
Symbol: ∀ (umgedrehtes A)
Beispiel:
„Für alle natürlichen Zahlen x gilt: x + 0 = x“
Formal:
$∀x∈N:x+0=x$
1.1.2 Existenzquantor (∃)
Der Existenzquantor steht für „es gibt mindestens ein“.
Er drückt aus, dass es mindestens ein Element gibt, für das die Aussage wahr ist.
Symbol: ∃ (gespiegeltes E)
Beispiel:
„Es gibt eine natürliche Zahl x, sodass x² = 4“
Formal:
$∃x∈N:x^{2}=4$
2. Junktionen
In der Aussagenlogik sind Junktionen (richtiger: Junktoren) logische Verknüpfungszeichen, mit denen man einzelne Aussagen zu komplexeren Aussagen zusammensetzt.
Folgende Junktionen existieren
| Symbol | Name | verbale Bedeutung | Beispiel | Beschreibung |
| $ \neg $ | Negation | nicht | $ \neg A $, „nicht A“ | Verneint den Wahrheitswert einer Aussage.\\Wenn A wahr ist, ist $\neg A$ falsch - und umgekehrt. |
| $ \land $ | Konjunktion | und | $ A \land B $, „A und B“ | Wahr nur wenn beide Aussagen wahr sind. |
| $ \lor $ | Disjunktion | oder (einschließend) | $ A \lor B $, „A oder B oder Beide“ | Wahr, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist. |
| $ \oplus $ | Exklusives Oder\\(XOR) | entweder - oder | $ A \oplus B $ | Wahr, wenn genau eine Aussage wahr ist. |
| $ \rightarrow $ | Subjunktion/Implikation | Wenn - dann | $ A \rightarrow B $, „Wenn Am dann B“ | Falsch nur, wenn A wahr und B falsch ist.\\Lässt sich gut durch den Satz:\\Ich verspreche wenn A, dann B. Herleiten.\\Versprechen gehalten oder gebrochen. |
| $ \leftrightarrow $ | Bijunktion/Äquivalenz | genau dann, wenn | $ A \leftrightarrow B $, A genau dann\\, wenn B | Wahr, wenn beide Aussagen denselben Wahrheitswert haben. |
2.1 Wahrheitstabelle der Junktionen
| A | B | Konjunktion $ A \land B $ | Disjunktion $ A \lor B $ | XOR $ A \oplus B $ | Subjunktion $ A \rightarrow B $ | Bijunktion $ A \leftrightarrow B $ |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
3. Syntax aussagenlogischer Formeln
- Jeder lateinische Großbuchstabe A,…,Z (auch indiziert $ A_{i} $) ist eine aussagenlogische Formel.
- Es sind $ \top $ für Tautalogie und $ \bot $ für Kontradiktion aussagenlogische Formeln.
- Ist $ \varphi $ eine aussagenlogische Formel, so gilt dies auch für $ (\varphi) $ und $ (\neg \varphi ) $.
- Sind $ \varphi $ und $ \epsilon $ aussagenlogische Formeln, so gilt dies auch für $ ( \varphi \land \epsilon ) $,$ ( \varphi \lor \epsilon ) $,$ ( \varphi \oplus \epsilon ) $
$ ( \varphi \rightarrow \epsilon ) $,$ ( \varphi \leftrightarrow \epsilon ) $