====== - Summen ====== === - Allgemein === **Bezeichnung**\\ \\ $\sum_{i=1}^{n} a_i $\\ \\ Bedeutet Die Summe aus $a1+a2+a3+...an$\\ gelesen Die Summe aus allen Zahlen von $i=1$ bis $n$.\\ \\ **Beispiele**\\ \\ a) $\sum_{i=-2}^{2} (-i)^2=2^2+1^2+0^2+(-1)^2+(-2)^2=4+1+0+1+4=10$\\ \\ b) $\sum_{j=0}^{4} x^j=x^0+x^1+x^2+x^3+x^4=1+x+x^2+x^3+x^4$\\ \\ === - Sonderfälle === Ist die Summationsgrenze gleich der oberen, bedeutet dies, dass die Summe aus eine Zahl (etwa $a_j$) besteht. $\sum_{i=j}^{j} a_i = a_j$\\ Ist due untere Summationsgrenze größer aus die Obere, wird das Ergebnis der Summe als Null definiert. $\sum_{i=3}^1 a_i = 0$\\ \\ === - Mengen im Summenzeichen === Das Summenzeichen kann auch als Notation für Indexmengen verwendet werden.\\ \\ **Beispiel**\\ \\ a) $I={2,5,7,12,15}$\\ \\ $\sum_{i \in I} i=2+5+7+12+15=41$\\ \\ b) Ist $I={k|k=2n,n \in \mathbb{N}}={2,4,6,...}$ die Menger der gerade Zahlen, so gilt\\ \\ $\sum_{i \in I} \frac{1}{i^2}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...$\\ \\ === - Rechenregeln === \\ $\sum_{i=1}^{n} (c*a_i)=c(\sum_{i=1}^{n} a_i)$ Quasi kann die Endumme auch mit Faktor am ende Multipliziert werden.\\ \\ $\sum_{i=1}^{n} (a_i+b_i)=\sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i$ Quasi könne auch Zwei Ensummen miteinander aufsummiert werden.\\ \\ $\sum_{i=1}^{n} (c*a_i + d * b_i) = c \sum_{i=1}^{n} a_i + d \sum_{i=1}^{n} b_i$ Die Komination aus beiden Regeln davor.\\ \\ **Beispiel** \\ a) $\sum_{i=1}^{12} i = 1+2+3+4+5$$+$$6+7+8+9+10+11+12=\sum_{i=1}^{5} i + \sum_{i=6}^{12} i$\\ \\ b) $\sum_{i=1}^{6}(3*i)=3*\sum_{i=1}^{6}i$\\ \\ === Indexverschiebung === Gelegentlich ist es nützlich die Summationsgrenzen zu verschieben. Das Verfahren beruht auf einer Darstellung der Art\\ \\ $\sum_{i=1}^{2}a_i=a_1+a_2=a_{3-2}+a_{4-2}=\sum_{i=3}^{4}a_{i-2}$\\ \\ Allgemein gilt wenn durch einen beliebigen Wert $k$ verschoben werden soll\\ \\ nach oben verschieben $\sum_{i=1+k}^{n+k}a_{i-k}$\\ \\ nach unten verschieben $\sum_{i=1-k}^{n-k}a_{i+k}$\\ \\ **Regel** - Die obere und untere Summationsgrenze werden um den selben Faktor $k$ erhöht oder erniedrigt. - Der Summationsindex wird in der Summation bei jedem Auftreten durch $i+k$ bzw. $i-k$ ersetzt. \\ === Spezielle Summen === - Sind alle $a_i$ gleich einem Wert $c$, d.h. gilt $a_i=c$ für jedes $i$, lässt sich die Summer schreiben als \\ $\sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{n}c=$$c+...+c$$=n*c$ Also n mal c \\ \\ Allgemein $\sum_{i=j}^{n}a_i=\sum_{i=j}^{n}c=(n-j+1)*c$\\ \\ - Sind alle $a_i$ gleich ihrem Index i, d.h. gila $a_i=i$ für jedes $i$, lässt sich die Summer schreiben als \\ $\sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$ Arithmetische Summe\\ \\ - Sind alle $a_i$ gleich dem Quadrat ihres Indes $i$, d.h. gil $a_i=i^2$ für jedes $i$, lässt sich die Summe schreiben als \\ $\sum_{i=1}^{n}a_i= \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ \\ \\ - Sind alle $a_i$ gleich der $i-ten$ Potens einer Zahl $c$, lässt sich die Summe über alle $a_i$ schreiben als \\ $\sum_{i=1}^{n}c^i=\frac{c-c^{n+1}}{1-c}=\frac{1-c^{n+1}}{1-c}-1$ \\ \\