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| home-harmening:mathematik:vektoren [2025/11/09 09:59] – [Reeller Spaltenvektor] charmening | home-harmening:mathematik:vektoren [2025/11/09 10:33] (aktuell) – [Rechenregeln] charmening |
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| ===== Rechenregeln ===== | ===== Rechenregeln ===== |
| === Addition === | === Addition === |
| {{:home-harmening:mathematik:vektorenaddition.png?250|}} | Wir haben eine **Grundmenge** $ G $. Die Vektoren $ \vec{x} $ und $ \vex{y} $.\\ |
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| Hier die Addition von zwei Vektoren. Diese Addition gilt **nur** für Vektoren mit gleicher **Komponentenzahl**.\\ | - Hier die Addition von zwei Vektoren. Diese Addition gilt **nur** für Vektoren mit gleicher **Komponentenzahl**.\\ Es wird jedes Komponentenpaar einzeln miteinander Addiert.\\ {{:home-harmening:mathematik:vektorenaddition.png?250|}} \\ \\ |
| | - Es gilt für $ \vec{x},\vec{y} \in G $ stets auch $ \vec{x} + \vec{y} \in G $, d.h. die Addition ist auch tatsächlich für je zwei Vektoren der Grundmenge erklärt.\\ \\ |
| | - Es gibt einen additiv neutralen Vektor $ \vec{0} \in G $, auch Nullvektor genannt, d.h. er erfüllt $ \vec{x}+\vec{0} = \vec{x} $ für jedes $ \vec{x} \in G $. \\ \\ |
| | - Zu jedem Vektor $ \vec{x} \in G $ gibt es einen additiv inversen Vektor $ \vec{y} $ mit $ \vec{x} + \vec{y} = \vec{0} $. Wir schreiben dann $ − \vec{x} $ anstatt $ \vec{y} $. \\ Eine Subtraktion wird durch eine Addition mit dem Inversen Vektor durchgeführt. \\ \\ Anstatt $ \vec{x} - \vec{y} $ wird $ \vec{x} + (- \vec{y}) $ geschrieben. \\ \\ |
| | - Die Addition ist assoziativ, d.h. es gilt stets $ (\vec{x}+\vec{y})+\vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec {z} ) $ für alle $ \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in G $. \\ \\ |
| | - Die Addition ist kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Operanden ist egal: $ \vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} $ für alle $ \vec{x},\vec{y} \in G $. |
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| Es wird jedes Komponentenpaar einzeln miteinander Addiert.\\ | |
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| === Multiplikation === | === Multiplikation === |
| - {{:home-harmening:mathematik:vektorenmultiplikation.png?180|}} \\ Bei der Multiplikation von Vektoren mit einem **Skalar** werden die Komponenten einzeln mit dem **Skalar** multipliziert. **(skalare Multiplikation)** | - Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ergibt wieder einen Vektor. \\ \\ |
| - {{:home-harmening:mathematik:vektorenmultiplikationaufteilung.png?250|}} \\ Der Skalar kann aufgeteilt, einzeln multipliziert und Anschließend wieder addiert werden. | - |
| - {{:home-harmening:mathematik:vektorenmultiplikationmitprodukt.png?250|}} \\ Wenn du einen Vektor mit einem Skalar multiplizierst, der selbst ein Produkt aus zwei Skalaren ist, kannst du die Multiplikation in zwei Schritten machen:\\ Statt zunächst die beiden Skalare zu multiplizieren und dann das Ergebnis mit dem Vektor, kannst du auch erst den Vektor mit dem ersten Skalar multiplizieren und dann das Resultat mit dem zweiten Skalar. | - Bei der Multiplikation von Vektoren mit einem **Skalar** werden die Komponenten einzeln mit dem **Skalar** multipliziert. **(skalare Multiplikation)** \\ {{:home-harmening:mathematik:vektorenmultiplikation.png?180|}} \\ \\ |
| - {{:home-harmening:mathematik:vektorenmultiplikationmitsummezweiervektoren.png?350|}} \\ Multipliziert man eine Summe zweier Vektoren mit einem Skalar, so darf man auch den Skalar mit jedem Vektor einzeln multiplizieren und anschließend die Summe bilden. | - Der Skalar kann aufgeteilt, einzeln multipliziert und Anschließend wieder addiert werden. \\ {{:home-harmening:mathematik:vektorenmultiplikationaufteilung.png?250|}} \\ \\ |
| - {{:home-harmening:mathematik:vektorenmultiplikationmitsummezweierskalare.png?250|}} \\ Multipliziert man einen Vektor mit der Summe zweier Skalare, so darf man die Skalare \\ auch einzeln mit dem Vektor multiplizieren und dann aufsummieren. | - Wenn du einen Vektor mit einem Skalar multiplizierst, der selbst ein Produkt aus zwei Skalaren ist, kannst du die Multiplikation in zwei Schritten machen:\\ Statt zunächst die beiden Skalare zu multiplizieren und dann das Ergebnis mit dem Vektor, kannst du auch erst den Vektor mit dem ersten Skalar multiplizieren und dann das Resultat mit dem zweiten Skalar. \\ {{:home-harmening:mathematik:vektorenmultiplikationmitprodukt.png?250|}} \\ \\ |
| - {{:home-harmening:mathematik:vektorenmultiplikationmit1.png?150|}} \\ Die Multiplikation der Zahl 1 mit einem Vektor ergibt wieder diesen Vektor. | - Multipliziert man eine Summe zweier Vektoren mit einem Skalar, so darf man auch den Skalar mit jedem Vektor einzeln multiplizieren und anschließend die Summe bilden. \\ {{:home-harmening:mathematik:vektorenmultiplikationmitsummezweiervektoren.png?350|}} \\ \\ |
| | - Multipliziert man einen Vektor mit der Summe zweier Skalare, so darf man die Skalare \\ auch einzeln mit dem Vektor multiplizieren und dann aufsummieren. \\ {{:home-harmening:mathematik:vektorenmultiplikationmitsummezweierskalare.png?250|}} \\ \\ |
| | - Die Multiplikation der Zahl 1 mit einem Vektor ergibt wieder diesen Vektor. \\ {{:home-harmening:mathematik:vektorenmultiplikationmit1.png?150|}} \\ \\ |
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