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| home-harmening:mathematik:vektoren [2025/11/09 09:48] – [Rechenregeln] charmening | home-harmening:mathematik:vektoren [2025/11/09 10:33] (aktuell) – [Rechenregeln] charmening | ||
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| Die Zahlen innerhalb der Klammern werden **reelle Spaltenvektoren** genannt.\\ | Die Zahlen innerhalb der Klammern werden **reelle Spaltenvektoren** genannt.\\ | ||
| + | \\ | ||
| + | \\ | ||
| + | ==== Reeller Zeilenvektor ==== | ||
| + | Man kann einen reellen Spaltenvektor durch **Transposition** in einen reellen Zeilenvektor und umgekehrt Transferieren.\\ | ||
| + | Meist notieren wir keine trennenden Kommata zwischen den Einträgen, jedoch können Kommata zur Wahrung der Übersichtlichkeit in Einzelfällen | ||
| + | sinnvoll sein.\\ | ||
| + | \\ | ||
| + | **Die komponentenweisen Rechenregeln der Spaltenvektoren gelten für die Zeilenvektoren ganz analog – sie werden nur halt horizontal angewendet.** \\ | ||
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| + | {{: | ||
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| ===== Rechenregeln ===== | ===== Rechenregeln ===== | ||
| === Addition === | === Addition === | ||
| - | {{: | + | Wir haben eine **Grundmenge** $ G $. Die Vektoren $ \vec{x} $ und $ \vex{y} $.\\ |
| \\ | \\ | ||
| - | Hier die Addition von zwei Vektoren. Diese Addition gilt **nur** für Vektoren mit gleicher **Komponentenzahl**.\\ | + | - Hier die Addition von zwei Vektoren. Diese Addition gilt **nur** für Vektoren mit gleicher **Komponentenzahl**.\\ |
| + | - Es gilt für $ \vec{x}, | ||
| + | - Es gibt einen additiv neutralen Vektor | ||
| + | - Zu jedem Vektor $ \vec{x} \in G $ gibt es einen additiv inversen Vektor $ \vec{y} $ mit $ \vec{x} + \vec{y} = \vec{0} $. Wir schreiben dann $ − \vec{x} $ anstatt $ \vec{y} $. \\ Eine Subtraktion wird durch eine Addition mit dem Inversen Vektor durchgeführt. \\ \\ Anstatt $ \vec{x} - \vec{y} $ wird $ \vec{x} + (- \vec{y}) $ geschrieben. \\ \\ | ||
| + | - Die Addition ist assoziativ, d.h. es gilt stets $ (\vec{x}+\vec{y})+\vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec {z} ) $ für alle $ \vec{x}, | ||
| + | - Die Addition ist kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Operanden ist egal: $ \vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} $ für alle $ \vec{x}, | ||
| \\ | \\ | ||
| - | Es wird jedes Komponentenpaar einzeln miteinander Addiert.\\ | ||
| \\ | \\ | ||
| === Multiplikation === | === Multiplikation === | ||
| - | {{:home-harmening: | + | |
| - | Bei der Multiplikation von Vektoren mit einem **Skalar** werden die Komponenten einzeln mit dem **Skalar** multipliziert. **(skalare Multiplikation)**\\ | + | - |
| - | \\ | + | - Bei der Multiplikation von Vektoren mit einem **Skalar** werden die Komponenten einzeln mit dem **Skalar** multipliziert. **(skalare Multiplikation)** \\ {{: |
| - | {{: | + | |
| - | Der Skalar kann aufgeteilt, einzeln multipliziert und Anschließend wieder addiert werden.\\ | + | |
| - | \\ | + | |
| - | {{: | + | |
| - | Wenn du einen Vektor mit einem Skalar multiplizierst, | + | |
| - | Statt zunächst die beiden Skalare zu multiplizieren und dann das Ergebnis mit dem Vektor, kannst du auch erst den Vektor mit dem ersten Skalar multiplizieren und dann das Resultat mit dem zweiten Skalar.\\ | + | |
| - | \\ | + | |
| - | {{: | + | |
| - | Multipliziert man eine Summe zweier Vektoren mit einem Skalar, so darf man auch den Skalar mit jedem Vektor einzeln multiplizieren und anschließend die Summe bilden.\\ | + | |
| - | \\ | + | |
| - | {{: | + | |
| - | Multipliziert man einen Vektor mit der Summe zweier Skalare, so darf man die Skalare | + | |
| - | auch einzeln mit dem Vektor multiplizieren und dann aufsummieren.\\ | + | |
| - | \\ | + | |
| - | {{: | + | |
| - | Die Multiplikation der Zahl 1 mit einem Vektor ergibt wieder diesen Vektor.\\ | + | |
| - | \\ | + | |