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| home-harmening:mathematik:vektoren [2025/11/09 09:37] – [Reeller Spaltenvektor] charmening | home-harmening:mathematik:vektoren [2025/11/09 10:33] (aktuell) – [Rechenregeln] charmening | ||
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| Die Zahlen innerhalb der Klammern werden **reelle Spaltenvektoren** genannt.\\ | Die Zahlen innerhalb der Klammern werden **reelle Spaltenvektoren** genannt.\\ | ||
| + | \\ | ||
| + | \\ | ||
| + | ==== Reeller Zeilenvektor ==== | ||
| + | Man kann einen reellen Spaltenvektor durch **Transposition** in einen reellen Zeilenvektor und umgekehrt Transferieren.\\ | ||
| + | Meist notieren wir keine trennenden Kommata zwischen den Einträgen, jedoch können Kommata zur Wahrung der Übersichtlichkeit in Einzelfällen | ||
| + | sinnvoll sein.\\ | ||
| + | \\ | ||
| + | **Die komponentenweisen Rechenregeln der Spaltenvektoren gelten für die Zeilenvektoren ganz analog – sie werden nur halt horizontal angewendet.** \\ | ||
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| ==== Gleichheit ===== | ==== Gleichheit ===== | ||
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| Vektoren werden als **gleich** bezeichnet wenn jede einzelne **Komponente** des ersten Vektors mit der dazugehörigen **Komponente** des zweiten Vektors\\ | Vektoren werden als **gleich** bezeichnet wenn jede einzelne **Komponente** des ersten Vektors mit der dazugehörigen **Komponente** des zweiten Vektors\\ | ||
| übereinstimmt.\\ | übereinstimmt.\\ | ||
| Hier besitzen dien beiden Vektoren eine gleiche **Komponentenzahl** $ n $.\\ | Hier besitzen dien beiden Vektoren eine gleiche **Komponentenzahl** $ n $.\\ | ||
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| \\ | \\ | ||
| ===== Rechenregeln ===== | ===== Rechenregeln ===== | ||
| === Addition === | === Addition === | ||
| - | {{ : | + | Wir haben eine **Grundmenge** $ G $. Die Vektoren $ \vec{x} $ und $ \vex{y} $.\\ |
| \\ | \\ | ||
| - | Hier die Addition von zwei Vektoren. Diese Addition gilt **nur** für Vektoren mit gleicher **Komponentenzahl**.\\ | + | - Hier die Addition von zwei Vektoren. Diese Addition gilt **nur** für Vektoren mit gleicher **Komponentenzahl**.\\ |
| + | - Es gilt für $ \vec{x}, | ||
| + | - Es gibt einen additiv neutralen Vektor | ||
| + | - Zu jedem Vektor $ \vec{x} \in G $ gibt es einen additiv inversen Vektor $ \vec{y} $ mit $ \vec{x} + \vec{y} = \vec{0} $. Wir schreiben dann $ − \vec{x} $ anstatt $ \vec{y} $. \\ Eine Subtraktion wird durch eine Addition mit dem Inversen Vektor durchgeführt. \\ \\ Anstatt $ \vec{x} - \vec{y} $ wird $ \vec{x} + (- \vec{y}) $ geschrieben. \\ \\ | ||
| + | - Die Addition ist assoziativ, d.h. es gilt stets $ (\vec{x}+\vec{y})+\vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec {z} ) $ für alle $ \vec{x}, | ||
| + | - Die Addition ist kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Operanden ist egal: $ \vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} $ für alle $ \vec{x}, | ||
| \\ | \\ | ||
| - | Es wird jedes Komponentenpaar einzeln miteinander Addiert.\\ | ||
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| === Multiplikation === | === Multiplikation === | ||
| - | {{ :home-harmening: | + | |
| - | Bei der Multiplikation von Vektoren mit einem **Skalar** werden die Komponenten einzeln mit dem **Skalar** multipliziert. **(skalare Multiplikation)**\\ | + | - |
| - | \\ | + | - Bei der Multiplikation von Vektoren mit einem **Skalar** werden die Komponenten einzeln mit dem **Skalar** multipliziert. **(skalare Multiplikation)** \\ {{: |
| - | {{ : | + | |
| - | Der Skalar kann aufgeteilt, einzeln multipliziert und Anschließend wieder addiert werden. | + | - Wenn du einen Vektor mit einem Skalar multiplizierst, |
| + | - Multipliziert man eine Summe zweier Vektoren mit einem Skalar, so darf man auch den Skalar mit jedem Vektor einzeln multiplizieren und anschließend die Summe bilden. \\ {{: | ||
| + | - Multipliziert man einen Vektor mit der Summe zweier Skalare, so darf man die Skalare \\ auch einzeln mit dem Vektor multiplizieren und dann aufsummieren. \\ {{: | ||
| + | - Die Multiplikation der Zahl 1 mit einem Vektor ergibt wieder diesen Vektor. \\ {{: | ||