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+++ home-harmening:mathematik:summen [2025/10/21 05:45] (aktuell) – charmening
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 **Beispiel**
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+a) <color #ed1c24>$\sum_{i=1}^{12} i = 1+2+3+4+5$</color>$+$<color #00a2e8>$6+7+8+9+10+11+12=\sum_{i=1}^{5} i + \sum_{i=6}^{12} i$</color>\\
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+b) $\sum_{i=1}^{6}(3*i)=3*\sum_{i=1}^{6}i$\\
+\\
+=== Indexverschiebung ===
+Gelegentlich ist es nützlich die Summationsgrenzen zu verschieben. Das Verfahren beruht auf einer Darstellung der Art\\
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+$\sum_{i=1}^{2}a_i=a_1+a_2=a_{3-2}+a_{4-2}=\sum_{i=3}^{4}a_{i-2}$\\
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+Allgemein gilt wenn durch einen beliebigen Wert $k$ verschoben werden soll\\
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+nach oben verschieben $\sum_{i=1+k}^{n+k}a_{i-k}$\\
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+nach unten verschieben $\sum_{i=1-k}^{n-k}a_{i+k}$\\
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+**Regel**
+  - Die obere und untere Summationsgrenze werden um den selben Faktor $k$ erhöht oder erniedrigt.
+  - Der Summationsindex wird in der Summation bei jedem Auftreten durch $i+k$ bzw. $i-k$ ersetzt.
+\\
+=== Spezielle Summen ===
+  - Sind alle $a_i$ gleich einem Wert $c$, d.h. gilt $a_i=c$ für jedes $i$, lässt sich die Summer schreiben als \\ $\sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{n}c=$<color #ed1c24>$c+...+c$</color>$=n*c$ <color #ed1c24>Also  n mal c</color> \\ \\ Allgemein $\sum_{i=j}^{n}a_i=\sum_{i=j}^{n}c=(n-j+1)*c$\\ \\
+  - Sind alle $a_i$ gleich ihrem Index i, d.h. gila $a_i=i$ für jedes $i$, lässt sich die Summer schreiben als \\ $\sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$ <color #ed1c24>Arithmetische Summe</color>\\ \\
+  - Sind alle $a_i$ gleich dem Quadrat ihres Indes $i$, d.h. gil $a_i=i^2$ für jedes $i$, lässt sich die Summe schreiben als \\ $\sum_{i=1}^{n}a_i= \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ \\ \\
+  - Sind alle $a_i$ gleich der $i-ten$ Potens einer Zahl $c$, lässt sich die Summe über alle $a_i$ schreiben als \\ $\sum_{i=1}^{n}c^i=\frac{c-c^{n+1}}{1-c}=\frac{1-c^{n+1}}{1-c}-1$ \\ \\